ladang ilmu: matematika

Showing posts with label matematika. Show all posts

Wednesday, November 20, 2013

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Pada Bilangan Bulat

-------------------------------------------

(18+) ane mau share video panas terbaru klik DISINI tunggu 5 detik terus klik skip add alamat menonton.

---------------------------------------------------

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Pada Bilangan Bulat

Operasi hitung penjumlahan pada bilangan bulat dapat menggunakan alat bantu berupa :

1. Mistar hitung

Mistar hitung adalah alat bantu untuk menghitung penjumlahan pada bilangan bulat yang dapat dibuat sendiri dari kertas karton.

Mistar hitung yang akan digunakan terdiri dari dua buah mistar dengan skala yang sama dan terdiri dari bilangan bulat, yaitu bilangan bulat negatif, nol dan bilangan bulat positif.

2. Garis Bilangan

Sebuah garis bilangan dapat digunakan untuk membantu penjumlahan pada bilangan bulat.

Jika suatu bilangan dijumlah dengan bilangan bulat positif, maka arah panah ke kanan dan jika dijumlah dengan bilangan bulat negatif, maka arah panah ke kiri.

Contoh a. 3 + 4 = 7 b. 3 + (-8) = -5 1.

Contoh :

Dengan menggunakan mistar hitung, tentukanlah hasil penjumlahan berikut :

a. 8 + (-3) = ..

Pasangkan bilangan 8 pada mistar bawah dengan bilangan 0 pada mistar atas,

lalu lihat bilangan -3 pada mistar atas ternyata berpasangan dengan bilangan 5 pada mistar

bawah,sehingga 8 + (-3) = 5 b. 5 + (-8) = ..

Pasangkan bilangan 5 pada mistar bawah dengan bilangan 0 pada mistar atas, l

alu lihat bilangan -8 pada mistar atas ternyata berpasangan dengan bilangan -3 pada mistar bawah,

sehingga 5 + (-8) = -3 2.

Contoh :

Dengan menggunakan garis bilangan, tentukanlah hasil penjumlahan berikut : a. –3 + 5 = ..

Pada sebuah garis bilangan bulat,

dimulai dari bilangan 0 buat panah ke arah bilangan –3,

lalu buat lagi tanda panah ke arah kanan (positif) sejauh 5 satuan sehingga jatuh di bilangan 2,

maka -3 + 5 = 2 b. 6 + (-5) = .. Pada sebuah garis bilangan bulat,

dimulai dari bilangan 0 buat panah ke arah bilangan 6,

lalu buat lagi tanda panah ke arah kiri (negatif) sejauh 5 satuan sehingga jatuh di bilangan 1,

maka 6 + (-5) = 1

-------------------------------------------

(18+) ane mau share video panas terbaru klik DISINI tunggu 5 detik terus klik skip add alamat menonton.

---------------------------------------------------

Sunday, September 8, 2013

rumus rumus dalam trigonometri

-------------------------------------------
(18+) ane mau share video panas terbaru klik DISINI tunggu 5 detik terus klik skip add alamat menonton.
---------------------------------------------------

Rumus Lengkap Trigonometri

A. Bentuk Umum

B. Sudut-Sudut Istimewa

C. Hubungan Sudut Berelasi antara Sin, Cos dan Tangen

D. Rumus-rumus Trigonometri

1. Aturan sinus

2. Aturan Cosinus

3. Luas Segitiga ABC

4. Jumlah dan Selish Dua Sudut

5. Sudut 2A (Sudut Kembar)

6. Hasil Kali Dua Fungsi Trigonometri

7. Jumlah Selisih Dua Fungsi Trigonometri

8. Persamaan Trigonometri

9. Bentuk a Cos x + b Sin x

10. Bentuk a Cos x + b Sin x = c

11. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f(x) =a Cos x + b Sin x

Monday, August 12, 2013

dimensi 3

-------------------------------------------

(18+) ane mau share video panas terbaru klik DISINI tunggu 5 detik terus klik skip add alamat menonton.

---------------------------------------------------

rak, sudut pada bangun ruang.
Untuk itulah kita wajib tau tiap bangun ruang . Target kita yang pertama adalah Kubus . Pasti dengar namanya saja udah bisa membayangkan bentuknya kan…???!!
Nah, mari kita kupas tentang sifat-sifat si Kubus ini !
KUBUS ABCD.EFGH

Dalam kubus ABCD.EFGH terdapat :

12 rusuk contoh AB
12 diagonal sisi / diagonal bidang contoh EG
6 bidang / sisi contoh CDHG
6 bidang diagonal contoh ACGE
4 diagonal ruang contoh AG

Yuuuk kita cari rumus diagonal sisi dan diagonal ruang pada kubus ABCD.EFGH dulu yuuuuuuuuuk….

kita akan cari diagonal sisi AC, perhatikan bidang ABCD (persegi)

$\begin{align*}AC&=&\sqrt{AB^2+BC^2}\\&=&\sqrt{r^2+r^2}\\&=&\sqrt{2r^2}\\&=&r\sqrt 2\end{align}$

kita akan cari diagonal ruang AG, perhatikan bidang diagonal ACGE (persegi panjang)

$\begin{align*}AG&=&\sqrt{AC^2+CG^2}\\&=&\sqrt{(r\sqrt 2)^2+r^2}\\&=&\sqrt{2r^2+r^2}\\&=&\sqrt{3r^2}\\&=&r\sqrt 3\end{align}$

Kita rangkum Rumus Kubus dengan rusuk = r

diagonal sisi kubus = $r\sqrt 2$
diagonal ruang kubus = $r\sqrt 3$
Luas permukaan kubus =
Volume kubus =

Contoh soal :
1. Jika diketahui kubus dengan diagonal sisinya $2\sqrt 6$ cm , tentukan diagonal ruang kubus !

jawab :

pertama kita cari rusuk nya dulu ya,

$\begin{align*}diag.sisi&=&2\sqrt 6\\r\sqrt 2&=&2\sqrt 6\\r&=&\frac{2\sqrt 6}{\sqrt 2}\\r&=&2\sqrt 3 \end{align*}$

maka diagonal ruang kubus

$\begin{align*}diag.ruang&=&{\color{Red} r}\sqrt 3\\&=&({\color{Red} 2\sqrt 3})\sqrt 3\\&=&2.3\\&=&6 \end{align*}$

2. Jika diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 5 cm, tentukan luas BDHF !

jawab :

perhatikan BDHF (bidang diagonal) dengan BF = 5 cm (rusuk) dan BD = $5\sqrt 2$ cm (diagonal sisi)

maka luas BDHF

$\begin{align*}L_{BDHF}&=&BD\times BF\\&=&5\sqrt 2\times 5\\&=&25\sqrt 2\;\;cm^2\end{align*}$

3. Jika diketahui kubus dengan diagonal sisi 6 cm, tentukan Volume kubus tersebut !

jawab :

pertama kita cari rusuknya ya.. $\begin{align*}diag.sisi&=&6\\r\sqrt 2&=&6\\r&=&\frac{6}{\sqrt 2}.\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}\\&=&\frac{6}{2}\sqrt 2\\r&=&3\sqrt 2\end{align*}$

maka volume kubus

$\begin{align*}V&=&r^3\\&=&(3\sqrt 2)^3\\&=&27.2\sqrt 2\\&=&54\sqrt 2\;\;cm^3\end{align*}$

Sekarang kita masuk ke contoh soal yang berkaitan dengan jarak dan sudut pada bangun ruang…..yuk

Latihan soal bangun ruang yang berkaitan dengan jarak dan sudut

1. Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm, tentukan jarak titik B ke garis EG !

jawab :

titik B dan garis EG berada dalam satu bidang yaitu segitiga BEG(sama sisi)
perhatikan bahwa BE , BG dan EG adalah diagonal sisi sehingga BE = BG = EG = $4\sqrt 2$ cm
proyeksi titik B di garis EG adalah titik P (di tengah EG) sehingga GP = $2\sqrt 2$ cm
jarak yang akan kita cari adalah panjang garis BP

maka :

$\begin{align*}BP&=&\sqrt{BG^2-GP^2}\\&=&\sqrt{(4\sqrt 2)^2-(2\sqrt 2)^2}\\&=&\sqrt {32-8}\\&=&\sqrt{24}\\&=&2\sqrt 6 \end{align*}$

2. Pada kubus ABCD.EFGH tentukan jarak titik A ke garis CE !

jawab :

titik A dan garis EC berada dalam satu bidang yaitu segitiga AEC
perhatikan bahwa AE adalah rusuk, kita misalkan AE = r , sedangkan AC adalah diagonal sisi maka kita misalkan AC = $r\sqrt 2$
proyeksi titik A di garis EC adalah titik Q ( AQ tegak lurus EC)
jarak yang akan kita cari adalah panjang garis AQ

perhatikan segitiga AQE dan segitiga CAE kita gunakan perbandingan sisi

$\begin{align*}\frac{AQ}{AE}&=&\frac{AC}{CE}\end{align*}$

$\begin{align*}AQ&=&\frac{AC.AE}{CE}\\&=&\frac{r\sqrt2\;.\;r}{r\sqrt3}\times \frac{\sqrt3}{\sqrt3}\\&=&\frac{r\sqrt6}{3} \end{align*}$

bozzkaf: http://bozzkaf.blogspot.com/2013/05/dimensi-tiga.html#ixzz2btO0fxb3

-------------------------------------------

(18+) ane mau share video panas terbaru klik DISINI tunggu 5 detik terus klik skip add alamat menonton.

---------------------------------------------------

logika matematika

-------------------------------------------

(18+) ane mau share video panas terbaru klik DISINI tunggu 5 detik terus klik skip add alamat menonton.

---------------------------------------------------

Apakah Logika Itu?
Perhatikan ilustrasi berikut ini!
Anda adalah seorang siswa SMK yang baru saja lulus sekolah dan langsung memulai berwirausaha dengan berdagang, yang sebagian modalnya Anda pinjam dari seorang teman. Anda berjanji, “Bila saya tidak rugi, saya akan melunasi semua utang saya sesegera mungkin”. Keadaan berikut ini, yang manakah Anda dapat dikatakan ingkar janji?
i) Anda tidak rugi dan Anda melunasi utang dengan segera
ii) Anda tidak rugi dan Anda tidak melunasi utang dengan segera
iii) Anda melunasi utang padahal anda rugi
iv) Anda melunasi utang dan Anda tidak rugi
Jelas bahwa tanpa logika, kita sering melakukan kesalahan dalam penarikan kesimpulan.
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kali kita di hadapkan pada suatu keadaan yang mengharuskan kita untuk membuat suatu keputusan. Agar keputusan kita itu baik dan benar, maka terlebih dahulu kita harus dapat menarik kesimpulan-kesimpulan dari keadaan yang kita hadapi itu, dan untuk dapat menarik kesimpulan yang tepat diperlukan kemampuan menalar yang baik.
Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturan-aturan tertentu. Lalu apa kaitannya dengan logika?

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinya kata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadi ilmu pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari.
Pengertian Pernyataan dan Bukan Pernyataan
Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut!
1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam
2. 4 + 3 = 8
3. Frodo mencintai 1
4. Asep adalah bilangan ganjil
Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.
Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!
1. Rapikan tempat tidurmu!
2. Apakah hari ini akan hujan?
3. Indah benar lukisan ini!
4. Berapa orang yang datang?
Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.

Catatan:
Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.
Kalimat Terbuka
Perhatikan contoh berikut ini!
1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya
2. seseorang memakai kacamata
3. 2x + 8y > 0
4. x + 2 = 8
Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.
Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.
Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.
Contoh:
x + 2 = 8
x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x anggora bilangan real adalah selesaian.
Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka dapat kita rumuskan sebagai berikut:

Pernyataan Majemuk
Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):

: Merupakan lambang operasi untuk negasi

: Merupakan lambang operasi untuk konjungsi

: Merupakan lambang operasi untuk disjungsi

: Merupakan lambang operasi untuk implikasi

: Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi
1) Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan
Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “

” atau “

”.
Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya

p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya

p benar.

Definisi tersebut dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

B = benar
S = salah
Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!
1. p : kayu memuai bila dipanaskan (S)
-p: kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)
2. r : 3 bilangan positif (B)
-r : (cara mengingkar seperti ini salah)
3 bilangan negatif
(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)
2) Pernyataan Majemuk
Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung logika.
Contoh:

disebut konjungsi

disebut disjungsi

disebut Implikasi

disebut biimplikasi
3) Konjungsi ()
Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
Dengan tabel kebenaran

Contoh:
1. p : 5 bilangan prima (B)
q : 5 bilangan ganjil (B)

: 5 bilangan prima dan ganjil (B)
4) Disjungsi/ Alternasi ()
Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif)

Dengan tabel kebenaran

Contoh:
1. p : 1 akar persamaan

(B)
q : -1 akar persamaan

(B)

: 1 atau -1 akar persamaan

(B)
2. p : Bogor di Jawa barat (B)
q : Bogor itu kota propinsi (S)

: Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)
5) Implikasi/ Kondisional ()
boleh dibaca:
jika p maka q
q hanya jika p
p syarat perlu untuk q
q syarat cukup untuk p
p disebut anteseden atau hipotesis
q disebut konsekuen atau konklusi
Implikasi bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.

Dengan tabel kebenaran

Contoh:
1. Jika 2 x 2 = 4, maka 4 : 2 = 2 (B)
(B) (B)
2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang (B)
(S) (S)

6) Biimplikasi atau Bikondisional ()

boleh dibaca:
p jika dan hanya jika q (disingkat “p jhj q”)
jika p maka q, dan jika q maka p
p syarat perlu dan cukup untuk q
q syarat perlu dan cukup untuk p
biimplikasi

bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.

Dengan tabel kebenaran

Contoh:
1. 2 x 2 = 4 jika dan hanya jika 4 : 2 = 2 (B)
(B) (B)
2. 2 x 4 = 8 jika dan hanya jika 8 : 4 = 0 (S)
(B) (S)

Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.
Implikasi :

Inversnya :

Konversnya :

Kontraposisinya :

Contoh:
Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas
Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas
Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring
Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring
Dengan tabel kebenaran:

				Implikasi	Invers	Konvers	Kontraposisi
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran sama dengan kontraposisi, dan nvers dengan konvers i. Sehingga dapat kita katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers setara dengan konvers. Bisa kita tulis:

Catatan:
“” artinya ekivalen
Contoh:
Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri, maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”
Jawab:
Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi, “jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”
Penarikan Kesimpulan (Inferensi)
1) Pengertian Argumen
Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!
1. Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)
Harga barang naik (premis 2)
Jadi permintaan barang turun (konklusi)
2. Jika

, maka

(premis 1)

(premis 2)
Jadi

(konklusi)
Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:

Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”
Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis (pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi (kesimpulan).

2) Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma
Sekarang kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.
1. Modus ponens
Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan.
Bentuknya sebagai berikut:

(premis 1) berupa implikasi

(premis 2) berupa anteseden
——–

(konklusi)
Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen dapat dilihat melalui tabel kebenaran.


B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Argumentasi ini sah karena untuk premis

dan p benar, konklusi q juga benar.
Contoh:
Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun
Harga barang naik
Jadi permintaan barang turun
2. Modus tollens
Modus tollens disebut juga kaidah penolakan.
Bentuknya sebagai berikut: